26/26历年考研数学三真题(2021)word打印版2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项

符合

题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.1.设{kx}是数列,下列命题中不正确的是()(a)若limkkxa→∞

=,则221limlimkkkkxxa+→∞

→∞

==.

(b)若221limlimkkkkxxa+→∞

→∞

==,则limkkxa→∞

=

(c)若limkkxa→∞

=,则321limlimkkkkxxa+→∞

→∞

==

(d)若331limlimkkkkxxa+→∞

→∞

==,则limkkxa→∞

=

2.设函数()fx在(,)-∞+∞连续,其二阶导函数()fx”的图形如右图所示,则曲线()yfx=的拐点个数为()

(a)0(b)1(c)2(d)3

3.设{}

2222(,)2,2dxyxyxxyy=+≤+≤,函数(,)fxyd上连续,则(,)d

fxydxdy??=

()

2cos2sin420

004

2sin2cos42000

4

10

110

()(cos,sin)(cos,sin)()(cos,sin)(cos,sin)()2(,)()2(,)x

x

adfrrrdrdfrrrdr

bdfrrrdrdfrrrdr

cdxfxydy

ddxfxydy

π

π

θ

θ

πππ

θ

θ

πθθθθθθθθθθθθ++??

??

??

??

??

?

4.下列级数中发散的是()

(a)13nnn∞

=∑

(b)11)nn∞=+(c)2(1)1lnnnn∞=-+∑(d)1!

nnnn

=∑

5.设矩阵22111112,,14aabdad????

??

==????????

若集合(1,2)ω=,则线性方程组axb=有无穷多解的

充分必要条件为()

(),aad?ω?ω(),bad?ω∈ω(),cad∈ω?ω(),dad∈ω∈ω

6.设二次型1,23(,)fxxx在正交变换xpy=下的标准形为222

1232yyy+-,其中

123(,,)peee=,若132(,,),qeee=-则123(,,)xxx在正交变换xqy=下的标准形为()

(a)2221232yyy-+(b)2221232yyy+-(c)2221232yyy–(d)222

1232yyy++

7.设a,b为任意两个随机事件,则()

(a)()()()pabpapb≤(b)()()()pabpapb≥

(c)()()()2papbpab+≤(d)()()

()2

papbpab+≥

8.设总体(,)x

bmθ,12,,nxxx为来自该总体的简单随机样本,x为样本均值,则

21()niiexx=??

-=????

∑()(a)(1)(1)mnθθ–(b)(1)(1)mnθθ–(c)(1)(1)(1)mnθθ(d)(1)mnθθ-

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上.92

ln(cos)

lim

xxx→∞=。

10设函数()fx连续,2

()()xxxft?=

?

,若(1)?1=,'(1)5?=,则(1)f=

11若函数z=(,)zxy由方程

2+3z

1xyexyz++=确定,则(0,0)dz=12设函数()yyx=是微分方程”’

20yyy+-=的解,且在x=0处()yx取得极值3,则()yx=13设3阶矩阵a的特征值为2,-2,1,2

baae=-+,其中e为3阶单位矩阵,则行列式b=14设二维随机变量(,)xy服从正态分布(1,0;1,1;0)n,则(0)pxyy-<=

三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、(本题满分10分)

设函数3

()ln(1)sin,(),fxxxbxxgxkxα=+++?=若()fx与()gx在0x→时是等价无穷小,求a,b,k的值。16、(本题满分10分)计算二重积分

()d

xxydxdy+??,其中{}2

22(,)2,dxyx

yyx=+≤≥

17、(本题满分10分)

为了实现利润最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设q为该商品的需求量,p为价格,mc为边际成本,η为需求弹性(η>0)(i)证明定价模型为11mc

=

(ii)若该商品的成本函数为2

()1600cqq=+,需求函数为40qp=-,试由(1)中的定价模型确定此商品的价格。18、(本题满分10分)

设函数()fx在定义域i上的导数大于零,若对任意的0xi∈,曲线()yfx=在点

()00,()xfx处的切线与直线0xx=及x轴所围成区域的面积恒为4,且(0)2f=,求()

fx的表达式。19、(本题满分10分)

(i)设函数()ux,()vx可导,利用导数定义证明[]’

()()()()()()uxvxuxvxuxvx=+

(ii)设函数12*(),(),,()uxuxkux可导,12*()()()()fxuxuxkux=,写出()fx的求导公式。

20(本题满分11分)

(20)设矩阵101101aaaa???=-????

,且3

0a=.

(i)求a的值;

(ii)若矩阵x满足2

2

xxaaxaxae–+=,其中e为3阶单位矩阵,求x.

21(本题满分11分)

设矩阵02313312aa-???=–??-??,相似于矩阵12000031bb-???

=????

(i)求a,b的值(ii)求可逆矩阵p,使1

pap-为对角矩阵。22(本题满分11分)

设随机变量x的概率密度为2ln2,0,

()0,0

xxfxx-?=?≤?>

对x进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记y为观测次数。

(1)求y的概率分布;(2)求ey。23(本题满分11分)设总体x的概率密度为

1

1(:)10,xfxθθθ

?≤≤?

=-???,其他

其中θ为未知参数,12,,rxxlx,为来自该总体的简单随机样本。、

(1)求θ的矩估计量;

(2)求θ的最大似然估计量

2014年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请
历年考研数学三真题(2021)word打印版.docx(考研三数学真题)插图
将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)设lim,naa=且0,a≠则当n充分大时有()(a)2

na

a>

(b)2na

a-

(d)1

naan

0,

b.i2>0,

c.i3>0,b.i4>04.设{an}为正项数列,下列选项正确的是a.若an>an+1,则11(1)nnna∞

-=-∑收敛

b.若11(1)nnna∞

-=-∑收敛,则an>an+1

c.若1

nna∞

=∑收敛,则存在常数p>1,使limn→∞

npan存在

d.若存在常数p>1,使limn→∞

np

an存在,则1

nna∞

=∑收敛

5.设a,b,c均为n阶短阵,若ab=c,且b可逆,则a.矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价b.矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价c.矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价d.矩阵c的列向量组与矩阵b的列向量组等价

6.矩阵1111aabaa???????与20000000b???

????

相似的充分必要条件为()

a.a=0,b=2

b.a=0,b为任意常数

c.a=2,b=0

d.a=2,b为任意常数

7.设x1,x2,x3是随机变量,且x1~n(0,1),x2~n(0,22),x3~n(5,32),pj=p{-2≤xj≤2}(j=1,2,3),则a.p1>p2>p3b.p2>p1>p3c.p3>p1>p2d.p1>p3>p2

x和y的概率分布分别为a.112

b.18

c.16

d.12

9.设曲线y=f(x)与y=x2-x在点(1,0)处有公共切线,则limn→∞nf2nn??

?+??

=.10.设函数z=z(x,y)由方程(z+y)x=xy确定,则

(1,2)

z

x??=.11.2

1

ln(1)x

dxx+∞

+?

=.

12.微分方程1

04

yyy”’-+

=的通解为y=.13.设a=(aij)是3阶非零矩阵,|a|为a的行列式,aij为aij的代数余子式,若aij+aij=0(i,j=1,2,3),则|a|=.

14.设随机变量x服从标准正态分布n(0,1),则e(2xxe)=.三、解答题

15.当0x→时,1cos,cos2,cos3xxx-与nax为等价无穷小,求n与a的值。16.设d是由曲线1

3

yx=,直线(0)xaa=>及x轴所围成的平面图形,,xyvv分别是d绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积,若10yxvv=,求a的值。17.设平面区域d由直线3,3xyyx==及8xy+=围成,计算2d

xdxdy??。

18.设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为

601000

q

p=-

,(p是单价,单位:元,q是销量,单位:件),已知产销平衡,求:(1)该商品的边际利润;

(2)当p=50时的边际利润,并解释其经济意义;(3)使得利润最大的定价p。19.设函数f(x)在[0,)+∞上可导,(0)0f=,且lim()2xfx→∞

=,证明

(1)存在0a>,使得()1fa=;

(2)对(1)中的a,存在(0,)aξ∈,使得1()fa

ξ’=

。20.设101,101aabb????

==??????,当a,b为何值时,存在矩阵c使得ac-ca=b,并

求所有矩阵c。

21.设二次型22123112233112233(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx=+++++,记123aaaα??

?

=????,

123bbbβ???

=????

(1)证明二次型f对应的矩阵为2ttααββ+;

(2)若,αβ正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为22

122yy+。

22.设(x,y)是二维随机变量,x的边缘概率密度为33,01,()0,xxxfx?.

23.设总体x的概率密度为23,0,

(;)0,xexfxxθ

θθ-?>?=???

其他其中θ为未知参数且大于

零,12,,nxxx,为来自总体x的简单随机样本。(1)求θ的矩估计量;

(2)求θ的最大似然估计量。

2012考研试题

1)

线

22

1

xxyx+=-渐近线的条数

()

(a)0(b)1(c)2(d)3(2)设函数2()(1)(2)()xxnxyxeeen=–

-,其中

n为正整数,则(0)y’=()

(a)1

(1)

(1)!nn(b)(1)(1)!nn–(c)1(1)!nn–(d)

(1)!nn-

(3)如果函数(,)fxy在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是()

(a)若极限0

(,)

lim

xyfxyxy

→→+存在,则(,)fxy在(0,0)处可微

(b)若极限22

00

(,)

lim

xyfxyxy→→+存在,则(,)fxy在(0,0)处可微

(c)若(,)fxy在(0,0)处可微,则极限00

(,)

lim

xyfxyxy→→+存在

(d)若(,)fxy在(0,0)处可微,则极限22

00

(,)

lim

xyfxyxy

→→+存在(4)设2

sin(1,2,3)kxkexdxkπ

==?i则有()

(a)123iii。设.zxy=-(1)求z的概率密度2(,);fzσ(2)设12,,

,nzzz为来自总体z的简单随机样本,求2σ的最大似然估计量2σ

(3)证明2σ为2σ的无偏估计量

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1)已知当0x→时,函数()3sinsin3fxxx=-与是kcx等价无穷小,则

(a)1,4kc==(b)1,4kc==-(c)3,4kc==(d)3,4kc==-

(2)已知()fx在0x=处可导,且(0)0f=,则2330()2()

limxxfxfxx

→-=(a)’

2(0)f-(b)’

(0)f-(c)’

(0)f(d)0(3)设{}nu是数列,则下列命题正确的是

(a)若

1n

nu

=∑收敛,则

21

21

()nnnu

u∞

-=+∑收敛

(b)若

21

21()nnnu

u∞

-=+∑收敛,则1

nnu∞

=∑收敛

(c)若

1n

nu

=∑收敛,则

21

21

()nnnu

u∞

-=-∑收敛

(d)若

21

21

()nnnu

u∞

-=-∑收敛,则1

nnu∞

=∑收敛

(4)设40

ln(sin)ixdxπ

=?

,40

ln(cot)jxdxπ

=?,40

ln(cos)kxdxπ

=?则i,j,k的大

小关系是

(a)ijk的泊松分布,11,,

(2)nxxxn≥为来自总体的简

单随即样本,则对应的统计量11

1niitxn==∑,12111

1ni

nitxxnn-==+-∑(a)1212,etetdtdt>>(b)1212,etetdtdt>(d)1212,etetdtdt(c)”()0fa

(4)设10

()lnfxx=,()gxx=,10

()xhxe=,则当x充分大时有()(a)()()()gxhxfx(c)若向量组ⅱ线性无关,则rs≤(d)若向量组ⅱ线性相关,则rs>

(6)设a为4阶实对称矩阵,且2

0aa+=,若a的秩为3,则a相似于

(a)1110?????

???????(b)1110????

????-??

??

(c)1110????-????-????(d)1110-????-????-??

??(7)设随机变量的分布函数0

1()01211

xxfxxe

x->?

>?为概率密度,则,ab应满足

(a)234ab+=(b)324ab+=(c)1ab+=(d)2ab+=

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设可导函数()yyx=由方程

2

20

sinxy

x

tedtxtdt+-=?

?确定,则

xdy

dx==______.(10)

设位于曲线)yex=

≤的简单随机样本,记统计量

2

1

1niitxn==∑,则et=______.

三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)求极限11lnlim(1)

x

x

xx→+∞

(16)(本题满分10分)计算二重积分

3()d

xydxdy+??,其中d

由曲线x=

与直线0x+=

及0x-=围成。

(17)(本题满分10分)

求函数2uxyyz=+在约束条件2

2

2

10xyz++=下的最大值和最小值(18)(本题满分10分)(ⅰ)比较

[]1

lnln(1)n

ttdt+?

与1

0lnn

ttdt?(1,2,)n=的大小,说明理由

(ⅱ)设[]1

lnln(1)n

nuttdt=

+?

(1,2,)n=,求极限limnnu→∞

(19)(本题满分10分)设函数()fx在

[]

0,3上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且

2

2(0)()(2)+(3)ffxdxff==?,

(ⅰ)证明:存在(0,2)η∈,使()(0)ffη=(ⅱ)证明:存在(0,3)ξ∈,使”

()0fξ=(20)(本题满分11分)

设1101011aλλλ????=-??????,11ab????=??????

已知线性方程组axb=存在2个不同的解(ⅰ)求λ,a

(ⅱ)求方程组axb=的通解(21)(本题满分11分)

014

13

40

aa

a

??

??

=-??

??

??

,正交矩阵q使得t

qaq为对角矩阵,若q的第1列

为2,1)t,求a,q

(22)(本题满分11分)

设二维随机变量()

xy

,的概率密度为22

22

()xxyy

fxyae-+-

=

,,x

-∞

?成立的x的范围是

(a)(0,1).(b)(1,

)2π

.(c)(,)2

π

π.

(d)(,)π+∞.

(4)设函数()yfx=在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

x

fxftdt=

?的图形为

(a)

(b)

(c)

(d)

(5)设,ab均为2阶矩阵,*

,ab*

分别为,ab的伴随矩阵,若||2,||3ab==,则分

块矩阵oabo??

???

的伴随矩阵为

(a)**32obao?????

.

(b)**

23o

ba

o??

???

.

(c)**32oab

o?????.

(d)**

23o

abo??

???

.(6)设,ap均为3阶矩阵,tp为p的转置矩阵,且100010002t

pap???=????

若1231223(,,),(,,)pqααααααα==+,则t

qaq为

(a)210110002??

?????.

(b)110120002??

?

????.

(c)200010002???????

.

(d)100020002???

????

.

(7)设事件a与事件b互不相容,则(a)()0pab=.

(b)()()()pabpapb=.

(c)()1()papb=-.

(d)()1pab?=.

(8)设随机变量x与y相互独立,且x服从标准正态分布(0,1)n,y的概率分布为

1

{0}{1}2

pypy====

,记()zfz为随机变量zxy=的分布函数,则函数()zfz的间断点个数为

(a)0.

(b)1.(c)2.(d)3.

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9

)cosxx→=.

(10)设()yx

zxe=+,则

(1,0)

z

x?=?.(11)幂级数2

1

(1)nnn

nexn∞

=–∑的收敛半径为.(12)设某产品的需求函数为()qqp=,其对应价格p的弹性0.2pξ=,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加元.

(13)设(1,1,1)tα=,(1,0,)t

kβ=,若矩阵tαβ相似于300000000???????

,则k=.

(14)设1x,2x,…,mx为来自二项分布总体(,)bnp的简单随机样本,x和2

s分别为样本均值和样本方差,记统计量2

txs=-,则et=.

三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分9分)

求二元函数()

22(,)2lnfxyxyyy=++的极值.(16)(本题满分10分)

计算不定积分ln(1dx+

?

(0)x>.(17)(本题满分10分)计算二重积分

()d

xydxdy-??

,其中22

{(,)(1)(1)2,}dxyxyyx=-+-≤≥.(18)(本题满分11分)

(ⅰ)证明拉格朗日中值定理,若函数()fx在[],ab上连续,在(),ab上可导,则

(),abξ∈,得证()'()()()fbfafbaξ-=-.

(ⅱ)证明:若函数()fx在0x=处连续,在()0,

,(0)σσ>内可导,且

lim()xfxa+

→=,则'(0)f+存在,且'(0)fa+=.(19)(本题满分10分)

设曲线()yfx=,其中()fx是可导函数,且()0fx>.已知曲线()yfx=与直线

0,1yx==及(1)xtt=>所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的tπ倍,求该曲线的方程.

(20)(本题满分11分)设

111a=111042–???-??–??,1112ξ-???=??-??

.

(ⅰ)求满足21aξξ=,231aξξ=的所有向量2ξ,3ξ.(ⅱ)对(ⅰ)中的任意向量2ξ,3ξ,证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型

2221231231323(,,)(1)22fxxxaxaxaxxxxx=++-+-.

(ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值.

(ⅱ)若二次型f的规范形为2212yy+,求a的值.(22)(本题满分11分)

设二维随机变量(,)xy的概率密度为

0(,)0

xeyxfxy-???

在(,)-∞+∞内连续,则c=.

(10)设3

4

1()1xxfxxx++=+

,则2()______fxdx=?.

(11)设22{(,)1}dxyxy=+≤,则

2

()d

x

ydxdy-=??.

(12)微分方程0xyy’+=满足条件(1)1y=的解是y=.

(13)设3阶矩阵a的特征值为1,2,2,e为3阶单位矩阵,则14_____ae–=.

(14)设随机变量x服从参数为1的泊松分布,则{}

2pxex==.三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)求极限20

1sinlim

ln

xx

xx

→.(16)(本题满分10分)

设(,)zzxy=是由方程()2

2

xyzxyz?+-=++所确定的函数,其中?具有2阶导数

且1?’≠-时.

(ⅰ)求dz(ⅱ)记()1,zzuxyxyxy????=

-?

-????

,求u

x??.(17)(本题满分11分)计算

max(,1),d

xydxdy??其中{(,)02,02}dxyxy=≤≤≤≤.

(18)(本题满分10分)设()fx是周期为2的连续函数,(ⅰ)证明对任意的实数t,有()()2

2

tt

fxdxfxdx+=?

?;

(ⅱ)证明()()()20

2x

ttgxftfsdsdt+??=

-????

?

?是周期为2的周期函数.

(19)(本题满分10分)

设银行存款的年利率为0.05r=,并依年复利计算,某基金会希望通过存款a万元,实现第一年提取19万元,第二年提取28万元,…,第n年提取(10+9n)万元,并能按此规律一直提取下去,问a至少应为多少万元?

(20)(本题满分12分)设n元线性方程组axb=,其中

2

221

212nnaaaaaa???

??=?

???,12nxxxx??????=??????

,100b??????=????

??

(ⅰ)求证行列式()1n

ana=+;

(ⅱ)a为何值时,该方程组有唯一解,并求1x;(ⅲ)a为何值时,方程组有无穷多解,并求通解。(21)(本题满分10分)

设a为3阶矩阵,12,aa为a的分别属于特征值1,1-的特征向量,向量3a满足

323aaaa=+,

(ⅰ)证明123,,aaa线性无关;(ⅱ)令()123,,paaa=,求1

pap-.

(22)(本题满分11分)

设随机变量x与y相互独立,x的概率分布为{}()1

1,0,13

pxii==

=-,y的概率密度为()101

0yyfy≤≤?=??

其它,记zxy=+

(ⅰ)求102pzx??

=????

;(ⅱ)求z的概率密度()zfz.(23)(本题满分11分)设12,,

,nxxx是总体为2

(,)nμσ的简单随机样本.记1

1n

iixxn==∑,

2

2

11()1ni

isxxn==–∑,221txsn=-.(ⅰ)证明t是2

μ的无偏估计量.(ⅱ)当0,1μσ==时,求dt.

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上

(1)当0x+→等价的无穷小量是()

(a)1-(b)ln(1+(c1(d)1-

(2)设函数()fx在0x=处连续,下列命题错误的是()

(a)若0()

lim

xfxx

→存在,则(0)0f=

(b)若0()()

limxfxfxx

→+-存在,则(0)0f=

(c)若0()

limxfxx

→存在,则'(0)f存在

(d)若0()()

limxfxfxx

→–存在,则'(0)f存在

(3)如图,连续函数()yfx=在区间[][]3,2,2,3–上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0

()(),

x

fxftdt=?

则下列结论正确的是()

(a)3(3)(2)4

ff=-

-(b)5

(3)(2)4ff=

(c)3(3)(2)4ff-=(d)5

(3)(2)4

ff-=–

(4)设函数(,)fxy连续,则二次积分1

sin2

(,)x

dxfxydyπ

π

??

等于()

(a)1

0arcsin(,)y

dyfxydxπ

π+?

?

(b)1

0arcsin(,)y

dyfxydxπ

π-??

(c)

1

arcsin0

2

(,)y

dyfxydxππ

+?

?(d)1arcsin0

2

(,)y

dyfxydxππ

-??

(5)设某商品的需求函数为1602qρ=-,其中q,ρ分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是()

(a)10(b)20(c)30(d)40

(6)曲线1

ln(1),xyex

=

++渐近线的条数为()(a)0(b)1(c)2(d)3(7)设向量组1α,2α,3α线性无关,则下列向量组线性相关的是()

(a)12αα-,23αα-,31αα-(b)12+αα,23+αα,31+αα(c)1223312,2,2αααααα(d)1223312,2,2αααααα+++

(8)设矩阵211121112a–????=–????–??,100010000b????

=??????

,则a与b()

(a)合同,且相似(b)合同,但不相似(c)不合同,但相似(d)既不合同,也不相似

(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()

(a)2

3(1)pp-(b)2

6(1)pp-(c)2

2

3(1)pp-(d)2

2

6(1)pp-

(10)设随机变量(,)xy服从二维正态分布,且x与y不相关,(),()xyfxfy分别表示x,y的概率密度,则在yy=条件下,x的条件概率密度()xyfxy为()

(a)()xfx(b)()yfy(c)()()xyfxfy(d)

()

()

xyfxfy二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上

(11)323

1

lim

(sincos)________2xxxxxxx→∞+++=+.(12)设函数123

yx=

+,则()

(0)_________ny=.(13)设(,)fuv是二元可微函数,(,),yxzfxy=则zz

x

yxy

??-??________.(14)微分方程

3

1()2dyyydxxx

=-满足1

1xy==的特解为y=__________.

(15)设距阵01000

010,00010000a??

?

?

=?

???

则3a的秩为_______.

(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于

1

2

的概率为________.三、解答题:17-24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分10分)

设函数()yyx=由方程ln0yyxy-+=确定,试判断曲线()yyx=在点(1,1)附近的凹凸性。

(18)(本题满分11分)设二元函数

2.

1.(,)1

2.

xxyfxyxy?+≤?

=≤+≤

计算二重积分

(,).d

fxydσ??其中{}

(,)

2dxyxy=+≤。

(19)(本题满分11分)

设函数()fx,()gx在[],ab上内二阶可导且存在相等的最大值,又()fa=()ga,

()fb=()gb,证明:

(ⅰ)存在(,),abη∈使得()()fgηη=;(ⅱ)存在(,),abξ∈使得”()”()fgξξ=。(20)(本题满分10分)将函数2

1

()34

fxxx=

–展开成1x-的幂级数,并指出其收敛区间。(21)(本题满分11分)

设线性方程组

1231232

123020(1)40

xxxxxaxxxax?++=?

++=??++=?

与方程

12321

(2)xxxa++=-

有公共解,求a的值及所有公共解。

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵a的特征值12311,2,2,(1,1,1)tλλλα===-=-是a的属于1λ的一个特征向量。记534baae=-+,其中e为3阶单位矩阵。

(ⅰ)验证1α是矩阵b的特征向量,并求b的全部特征值与特征向量;(ⅱ)求矩阵b。(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(,)xy的概率密度为

2,01,01.

(,)0,xyxyfxy–;

(ⅱ)求zxy=+的概率密度()zfz。(24)(本题满分11分)设总体x的概率密度为

1

0,21(;),1,

2(1)0xfxxθθθθθ?>,x?为自变量x在点0x处的增量,dyy?与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分,若0x?>,则()

(a)0dyy0a)。

(ⅰ)求l的方程;

(ⅱ)当l与直线yax=所围成平面图形的面积为8

3

时,确定a的值。(19)(本题满分10分)

求幂级数()()1

211

121nnnxnn-+∞

=–∑的收敛域及和函数()sx。(20)(本题满分13分)

设4维向量组()()()t

t

t

12341,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaαααα=+=+=+=

()

t

4,4,4,4a+问a为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一

个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

(21)(本题满分13分)

设3阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3,向量()()t

t

121,2,1,0,1,1αα=–=-是线性方程组0ax=的两个解。

(ⅰ)求a的特征值与特征向量;

(ⅱ)求正交矩阵q和对角矩阵λ,使得t

qaq=λ;

(ⅲ)求a及6

32ae?

?-??

?,其中e为3阶单位矩阵。

(22)(本题满分13分)设随机变量x的概率密度为

()1

,1021

,024

0,xxfxx?->(b)123iii>>(c)213iii>>(d)312iii>>(9)设0,1,2,

,nan>=若1

nna∞=∑发散,()

1

1

1nnna∞

-=-∑收敛,则下列结论正确的是

(a)

21

1nna

-=∑收敛,

21

n

na

=∑发散(b)

21n

na

=∑收敛,

21

1

nna

-=∑发散

(c)

()21

21

nnna

a∞

-=+∑收敛(d)()2121

nnnaa∞

-=-∑收敛

(10)设()sincosfxxxx=+,下列命题中正确的是(a)()0f是极大值,2fπ??

???

是极小值(b)()0f是极小值,2fπ??

???

是极大值(c)()0f是极大值,2fπ??

???

也是极大值(d)()0f是极小值,2fπ??

???

也是极小值(11)以下四个命题中,正确的是

(a)若()fx’在()0,1内连续,则()fx在()0,1内有界(b)若()fx在()0,1内连续,则()fx在()0,1内有界(c)若()fx’在()0,1内有界,则()fx在()0,1内有界(d)若()fx在()0,1内有界,则()fx’在()0,1内有界

(12)设矩阵()

33

ij

aa?=满足*taa=,其中*a为a的伴随矩阵,ta为a的转置矩阵.

若111213,,aaa为三个相等的正数,则11a为

(a

(b)3(c)1

3

(d

(13)设12,λλ是矩阵a的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则

()112,aααα+线性无关的充分必要条件是

(a)10λ=(b)20λ=(c)10λ≠(d)20λ≠(14)(注:该题已经不在数三考纲范围内)

三、解答题:本题共9小题,满分94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分8分)求011lim1xxxex-→+??

?-?

?.

(16)(本题满分8分)

设()fu具有二阶连续导数,且(),yxgxyfyf

xy????=+????

??

,求22

2222

ggxyxy??-??.(17)(本题满分9分)计算二重积分

221d

xydσ+-??

,其中(){},01,01dxyxy=≤≤≤≤.

(18)(本题满分9分)求幂级数

211121n

nxn∞

=??-?+?

?∑在区间()1,1-内的和函数()sx.(19)(本题满分8分)

设()(),fxgx在[]0,1上的导数连续,且()()()00,0,0ffxgx”=≥≥.证明:对任何[]0,1α∈,有

()()()()()()1

1agxfxdxfxgxdxfag”+≥??

(20)(本题满分13分)

已知齐次线性方程组

(ⅰ)12312312

3230,

2350,0,xxxxxxxxax++=??++=??++=?和(ⅱ)()1232

1230,

210,

xbxcxxbxcx++=???+++=??同解,求,,abc的值.

(21)(本题满分13分)设ta

cdcb??

=???

为正定矩阵,其中,ab分别为m阶,n阶对称矩阵,c为mn?阶矩阵.

(ⅰ)计算tpdp,其中1m

ne

acpo

e-??

-=???

;(ⅱ)利用(ⅰ)的结果判断矩阵1tbcac–是否为正定矩阵,并证明你的结论.

(22)(本题满分13分)

设二维随机变量(),xy的概率密度为

()0,01,02,

,1,

xyxfxy为来自总体()20,nσ的简单随机样本,其样本均值为x,

记,1,2,

,iiyxxin=-=.

(ⅰ)求iy的方差,1,2,

,idyin=;

(ⅱ)求1y与ny的协方差()1,ncovyy;

(ⅲ)若()2

1ncyy+是2

σ的无偏估计量,求常数c.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题:本题共6小题,每小题4分,满分24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(1)若()0sinlim

cos5xxx

xbea

→-=-,则a=______,b=______.

(2)函数(),fuv由关系式()(),fxgyyxgy=+????确定,其中函数()gy可微,且

()0gy≠,则

2f

uv

?=??______.(3)设()2

11,,2211,,

2

xxexfxx?-≤

=______.

(6)设总体x服从正态分布()

21,nμσ,总体y服从正态分布()

22,nμσ,

112,,

,nxxx和212,,,nyyy分别是来自总体x和y的简单随机样本,则

()()

1

2

22

11122nnijijxxyyenn==??-+-??

??=??+-???

?

∑∑______.二、选择题:本题共8小题,每小题4分,满分24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(7)函数()()()()

2

sin212xxfxxxx-=

–在下列哪个区间内有界.

(a)()1,0-(b)()0,1(c)()1,2(d)()2,3

(8)设()fx在(),-∞+∞内有定义,且()limxfxa→∞

=,()1,0,0,0,

f

xgxxx???

≠??=????=?

(a)0x=必是()gx的第一类间断点(b)0x=必是()gx的第二类间断点(c)0x=必是()gx的连续点(d)()gx在点0x=处的连续性与a的值有关.

(9)设()()1fxxx=-,则

(a)0x=是()fx的极值点,但()0,0不是曲线()yfx=的拐点(b)0x=不是()fx的极值点,但()0,0是曲线()yfx=的拐点(c)0x=是()fx的极值点,且()0,0是曲线()yfx=的拐点(d)0x=不是()fx的极值点,()0,0也不是曲线()yfx=的拐点(10)设有以下命题:①若

()21

21nnnu

u∞

-=+∑收敛,则1

nnu∞

=∑收敛

②若

1

n

nu

=∑收敛,则

1000

1

nnu

+=∑收敛

③若1

lim1nnn

uu+→∞>,则1nnu∞

=∑发散

④若

()1

n

nnu

v∞

=+∑收敛,则1

nna∞

=∑,1

nnv∞

=∑都收敛

则以上命题中正确的是

(a)①②(b)②③(c)③④(d)①④

(11)设()fx’在[],ab上连续,且()()0,0fafb”>(b)至少存在一点()0,xab∈,使得()()0fxfb>(c)至少存在一点()0,xab∈,使得()00fx’=(d)至少存在一点()0,xab∈,使得()00fx=(12)设n阶矩阵a与b等价,则必有

(a)当()0aaa=≠时,ba=(b)当()0aaa=≠时,ba=-(c)当0a≠时,0b=(d)当0a=时,0b=

(13)设n阶矩阵a的伴随矩阵*0a≠,若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组axb=的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0ax=的基础解系

(a)不存在(b)仅含一个非零解向量(c)含有两个线性无关的解向量(d)含有三个线性无关的解向量

(14)设随机变量x服从正态分布()0,1n,对给定的()0,1α∈,数nu满足

{}pxuαα>=,若{}pxxα;(ⅱ)推导

()1ddr

qedp

=-(其中r为收益),并用弹性de说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.

(19)(本题满分9分)

设级数

()468

242462468

xxxx+++-∞??=????≤?

其中参数0,1αβ>>.设12,,

,nxxx为来自总体x的简单随机样本.

(ⅰ)当1α=时,求未知参数β的矩估计量;(ⅱ)当1α=时,求未知参数β的最大似然估计量;(ⅲ)当2β=时,求未知参数α的最大似然估计量.

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